確率分布
離散型確率分布
分散
\[V[x] = E[x^2] - (E[x])^2\]正規分布（ガウス分布）
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} exp( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} )\]ベルヌーイ分布
ベルヌーイ分布は、2つの結果がある試行において、片方の結果が出る確率を p とした場合の離散型確率分布です。具体的には、成功を1、失敗を0で表し、成功が出る確率を p 、失敗が出る確率を 1-p とします。このとき、ベルヌーイ分布の確率質量関数は以下のように表されます。 ここで、 k は成功の回数です。
\[f(k;p)=\left\{ \begin{aligned} p^k(1-p)^{1-k} \quad (k=0,1) \\ 0 \quad (otherwise) \end{aligned} \right.\]期待値と分散
ベルヌーイ分布の期待値は、成功が出る確率 p です。
\[E[X]=p\]また、分散は以下のようになります。
\[Var(X)=p(1-p)\]多項分布(マルチヌーイ分布)
多項分布
事象 \(A_i\) が起きる確率をそれぞれ \(p_i\) とすると、確率変数 \(X_i\) が多項分布に従う場合、それぞれの試行が \(x_i\) 回起こる確率は、